ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

На рисунку 371 BD = DC, DN ⊥ BC, ∠BDM = ∠MDA. Знайдіть суму кутів MBN та BMD.

Дано: ∆ABC. BD = DC. DN ⊥ BC. ∠BDM = ∠MDA. Знайти: ∠MBN + ∠BMD. Розв'язання: За умовою BC = DC, отже ∆BDC — рівнобедрений. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠DBN = ∠DCN. DN — висота (DN ⊥ BC). За властивістю висоти в рівнобедреному трикутнику маємо: DN — медіана і бісектриса. За означенням бісектриси кута маємо: ∠BDN = ∠NDC. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠ADC = ∠ADM + ∠MDB + ∠BDN + ∠NDC. 2∠MDB + 2∠BDN = 180°; 2(∠MDB + ∠BDW) = 180°. ∠MDB + ∠BDN = 90°; ∠MDN = ∠MDB + ∠BDN; ∠MDN = 90°. Розглянемо ∆BND. За теоремою про суму кутів трикутника маємо ∠BND + ∠NDB + ∠DBN = 180°. Розглянемо ∆BMD. Аналогічно маємо: ∠BMD + ∠MDB + ∠DBM = 180°. Звідси маємо, що сума кутів чотирикутника BMDN дорівнює 360°. Отже, ∠BMD + ∠MDN + ∠DNB + ∠NBM = 360°. Звідси маємо: ∠MBN + ∠BMD = 360° – (90° + 90°) = 360° – 180° = 180°. Відповідь: 180°.