ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

У трикутнику ABC з вершини прямого кута C проведено висоту CH і бісектрису CM. Довжина відрізка HM удвічі менша від довжини відрізка CM. Знайдіть гострі кути трикутника ABC.

Дано: ∆АВС — прямокутний. ∠C = 90°. CH — висота (СH ⊥ AC). CM — бісектриса ∠ACB. HM < CM у 2 рази. Знайти: ∠A; ∠B. Розв’язання: За умовою CH — висота (СH ⊥ AB), тобто ∠CHM = 90°. Розглянемо ∠CHM — прямокутний (∠H = 90°). Нехай HM = х см, тоді CM = 2х (см). За властивістю катета, який лежить навпроти кута 30°, маємо: ∠HCM = 30°. За умовою CM — бісектриса ∠ACB. За означенням бісектриси кута трикутника маємо: ∠ACM = ∠MCB = 1/2 ∠ACB = 90°: 2 = 45°. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠HCB = ∠HCM + ∠MCB; ∠HCB = 30° + 45° = 75°. ∠ACH = ∠ACM – ∠HCM; ∠ACH = 45° – 30° = 15°. Розглянемо ∆CHA — прямокутний (∠H = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠CAH + ∠ACH = 90°; ∠CAH = 90° – 15° = 75°. Аналогічно з ∆CHB маємо: ∠CBH = 90° – 75° = 15°.
Відповідь: 75°; 15°.