ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Основи трапеції дорівнюють 7 см і 15 см, а кути при більшій основі — 30° і 60°. Знайдіть висоту та діагоналі трапеції.

Нехай АВСD – дана трапеція, BC ∥ AD, АВ ∦ СD, ВС = 7 см, АD = 15 см, ∠BAD = 60°, ∠СВА = 30°, ВК — висота, ВD і АС — діагоналі. Знайдемо ВК, ВD, АС.
Проведемо висоту СМ. ВСМК — прямокутник, тоді ВС = КМ = 7 см.
АК + KM + MD – AD, АК + 7 + MD = 15, АК + MD – 15 – 7 – 8 см.
Нехай АК = х (см), тоді MD = 8 – х (см).
Розглянемо ∆АВК, ∠K = 90°. tg ∠A = BK/AK; tg60° = BK/x; √3 = BK/x; ВК = √3х.
Розглянемо ∆СМD, ∠M = 90°. tg∠D = CM/MD; tg30° = CM/(8-x); 1/√3 = CM/(8-x); CM = (8-x)/√3.
Оскільки BK і CM — висоти, то BK = CM. √3x = (8-x)/√3; Зх = 8 – х; 4х = 8; х = 2. ВК = 2√3 см.
Розглянемо ∆АСМ, ∠М = 90°. АМ = х + 7, АМ = 2 + 7 = 9 см.
За теоремою Піфагора АС2 =АМ2 + МС2; АС2 = 92 + (2√3)2; АС2 = 81 + 12; АС2 = 93; АС = √93 см. Розглянемо ∆ВКD, ∠К – 90°. КD = 7 + 8 – х = 15 – х, КD = 15 – 2 = 13 см.
За теоремою Піфагора ВD2 = ВК2 + КD2; ВD2 = (2√3)2 + 132; ВD2 = 12 + 169; ВD2 = 181; ВD = √181 см.
Відповідь: ВК = 2√3 см, АС = √93 см, ВD = √181 см.