ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює а. Кут між другим катетом і висотою, проведеною з вершини прямого кута, дорівнює φ. Знайдіть невідомі сторони трикутника та проведену висоту.

Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, СВ = а, СК – висота, ∠АСК = φ.
Знайдемо АС, АВ, СК. Розглянемо ∆АКС, ∠К = 90°, ∠А + ∠АСК = 90°, ∠А = 90° – ∠АСК, ∠А = 90° – φ.
Розглянемо ∆АВС, ∠С = 90°. tg∠A = BC/AC; tg(90° – φ) = a/AC; ctgφ = a/AC; AC = a/ctgφ; sin∠A = CB/AB;
sin(90° – φ) = a/AB; cosφ = a/AB; AB = a/cosφ.
Розглянемо ∆АСК, ∠К = 90°. cos∠ACK = CK/AC; cosφ = CK/(a/ctgφ);
CK = a/ctgφ • cosφ = a/(cosφ/sinφ) • cosφ = (a sinφ)/cosφ • cosφ = asinφ.
Відповідь: АС = a/ctgφ; АВ = a/cosφ; СК = аsinφ.