ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони та утворює з основою трапеції кут 30°. Знайдіть висоту трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює R.

Нехай дано трапецію ABCD, ВС ∥ AD, AB ∦ CD, AB = CD, BD — діагональ, BD ⊥ AB, ∠BDA = 30°, BK — висота, коло (О; r) — коло, описане навколо трапеції.
Знайдемо ВК. Оскільки коло описане навколо трапеції ABCD, то воно описане д навколо ∆ABD.
Так як ∆ABD — прямокутний, то AD — діаметр кола, т. О — середина AD.
AD = R + R = 2R. АВ — катет, що лежить напроти кута 30°, то AB = 1/2AD; AB = 1/2 • 2R = R; cos∠BDA = BD/AD; cos30° = BD/2R; √3/2 = BD/2R; BD = (2R√3)/2 = R√3.
Розглянемо ∆BKD, ∠K = 90°. Катет BK, що лежить напроти кута 30°, і BK = 1/2BD; BK = 1/2 • R√3 = √3/2R.
Відповідь: BK = √3/2R.