ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Сторона ромба дорівнює а, а один із його кутів — 60°. Знайдіть діагоналі ромба.

Нехай дано ромб АВСD, АВ = ВС = СD = DА = а, ∠АВС = 60°, ВD і АС — діагоналі.
Знайдемо ВD і АС. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, тоді ∠ABD = ∠DBC = 1/2∠АВС = 60° : 2 = 30°.
Розглянемо ∆АВО, ∠О = 90° (АС ⊥ BD як діагоналі ромба).
Катет АО лежить напроти кута 30°, тоді AO = 1/2AB; AO = a/2; cos∠ABO = BO/AB; cos30° = BO/a; √3/2 = BO/a; BO = (a√3)/2.
За властивістю діагоналей ромба АО = ОС = 1/2АС. АС = 2АО; АС = 2 • a/2 = a; BO = OD = 1/2BD; BD = 2 • BO; BD = 2 • (a√3)/2 = a√3.
Відповідь: АС = а, BD = a√3.