ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Гострий кут ромба дорівнює α, радіус вписаного кола — r. Знайдіть сторону та діагоналі ромба. Нехай дано ромб ABCD, ∠B = α, коло (О; r) – коло вписане у ромб, BD i AC – діагоналі, АС ∩ BD = т. О. Знайдемо АВ, АС, BD.

Нехай M, N, K, P – точки дотику кола із сторонами ромба.
Проведемо радіуси ОК і ОМ, ОК ⊥ ВС, ОМ ⊥ OD, тоді МК – спільний перпендикуляр до ВС і AD, отже, МК – висота ромба. MK = OK + OM, MK = r + r = 2r.
Проведемо висоту AF, AF = MK = 2r. Розглянемо ∆ABF, ∠F = 90°. sin ∠B = AF/AB; sinα = 2r/AB; AB = 2r/sinα. Розглянемо ∆АВО, ∠О = 90°.
∠АВО = 1/2∠В = α/2; sin ∠ABO = AO/BO; sinα/2 = AO/(2r/sinα); AO = 2r/sinα • sinα/2 = (2r sin α/2)/sinα;
AC = 2 • AO; AC = 2 • (2r sin⁡〖α/2〗)/sin⁡α = (4r sin⁡〖α/2〗)/sin⁡α ;
cos∠ABO = BO/AB; cosα/2 = BO/(2r/sin⁡α ); BO = 2r/sin⁡α • cosα/2 = (2r cos⁡〖α/2〗)/sin⁡α ;
BD = 2 • BO; BD = 2 • (2r cos⁡〖α/2〗)/sin⁡α = (4r cos⁡〖α/2〗)/sin⁡α .
Відповідь: АВ = 2r/sin⁡α ; AC = (4r sin⁡〖α/2〗)/sin⁡α ; BD = (4r cos⁡〖α/2〗)/sin⁡α .