ГДЗ Геометрія 8 клас Бевз (2025)

На сторонах квадрата, зовні від нього, побудовано рівносторонні трикутники, вершини яких послідовно сполучено. Доведи, що утворений чотирикутник — квадрат (мал.3.22).

За умовою на сторонах квадрата ABCD зовні його побудовано правильні трикутники, вершини яких К, Р, T і N послідовно з’єднані відрізками. Потрібно довести, що чотирикутник KPTN квадрат, тобто, що всі його сторони рівні між собою і всі кути прямі. Або ж, що діагоналі PN і KT одночасно рівні і взаємно перпендикулярні. Побудуємо діагоналі PN і KT і позначимо точки їх перетину зі сторонами квадрата ABCD. За умовою ∆BPC — правильний, тому відрізок PL одночасно являється висотою і медіаною ∆ВРС, тобто BL = LC = 1/2ВС. Теж саме має місце і для інших трьох трикутників. Діагоналі PN і KP проходять через середини протилежних сторін квадрата паралельно його відповідним сторонам. Оскільки суміжні сторони квадрата взаємно перпендикулярні, то і діагоналі PN та KT взаємно перпендикулярні. Доведемо, що діагоналі рівні між собою. Дійсно, PN = PL + LF + FN = 2h + а, h = PL = FN — довжина сторони квадрата ABCD. Точно такий же вигляд має вираз і для діагоналі KT. Отже, діагоналі чотирикутника KPTN одночасно рівні між собою і взаємно перпендикулярні, що можливо лише в тому разі, коли чотирикутник KPTN являється квадратом.