ГДЗ Геометрія 9 клас Бурда НУШ

169. Доведіть, що коли sin α = sin β, то або α = β, або α = 180° – β.

Доведення.
Нехай кути α і β утворюють з даною віссю Оx радіуси одиничного кола AO і ОВ відповідно.
Якщо α і β кути І чверті (гострі), то за умови sin α = sin β маємо: ординати точок А і B рівні, а отже, точки A і B співпадають і α = β.
Якщо α і β кути ІІ чверті (тупі), то аналогічно до доведеного α = β.
Розглянемо випадок, коли α – кут І чверті, β – кут ІІ чверті, ординати точок А і В рівні.
Опустимо з точок А і В на вісь Оx перпендикуляри AD і BC, AD = BC.
∠AOD = α, ∠BOD = β.
Розглянемо прямокутні трикутники AOD і BOD: OA = OB (радіуси), AD = BC.
Тоді за ознакою рівності прямокутних трикутників ∆AOD = ∆BOC, звідки ∠AOD = ∠BOC = α.
Кути ∠BOC і ∠BOD суміжні, oтже, α + β = 180°, звідки α = 180° – β.
Висновок: якщо sin α = sin β, то або α = β, або α = 180° – β.
Що й треба було довести.