ГДЗ Геометрія 9 клас Бурда НУШ

139. Якщо α, β, γ — кути трикутника, то який знак має сума: 1) sin α + sin β + sin γ; 2) cos α + cos β + cos γ? Відповідь поясніть.

Якщо α, β, γ – кути трикутника, то 0° < α < 180°, 0° < β < 180°, 0° < γ < 180°.
Тоді: 0° < α/2 < 90°, 0° < β/2 < 90°, 0° < γ/2 < 90°.
1) sin α, sin β, sin γ – додатні числа, отже, sin α + sin β + sin γ > 0 (сума має знак «плюс»);
2) якщо заданий трикутник гострокутний, то
cos α > 0, cos β > 0, tg γ > 0 і cos α + cos β + cos γ > 0;
якщо заданий трикутник прямокутний, то якщо α = 90°, то
cos α = 0, cos β > 0, cos γ > 0 i cos α + cos β + cos γ > 0;
якщо заданий трикутник з тупим кутом α, то cos α < 0,
косинуси гострих кутів cos β > 0, cos γ > 0 i cos β > |cos α|, тоді
cos α + cos β + cos γ > 0;
3) α/2, β/2, γ/2 – гострі кути;
tg α/2, tg β/2, tg γ/2 – додатні числа, тоді
tg α/2 + tg β/2 + tg γ/2 > 0 (сума має знак «плюс»).