ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Точка перетину бісектрис двох сусідніх кутів паралелограма належить його стороні. Знайдіть відношення сусідніх сторін паралелограма.

Нехай дано паралелограм АВСD, АК — бісектриса ∠А, DК — бісектриса ∠D, т. K ∈ ВС.
Знайдемо АВ : АD. ∠ВКА = ∠КАD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АD і січній АК).
∠ВАК = ∠КАD (АК — бісектриса).
∠ВАК = ∠ВКА, отже, ∆АВК — рівнобедрений, АВ = ВК.
∠СКD = ∠КDА (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АО і січній DК).
∠СDК = ∠КDА (DК — бісектриса).
Отже, ∠СDК = ∠СКD, тоді ∆СКD — рівнобедрений, СD = СК.
Так як АВ = СD, то СК = АВ, ВС = 2АВ.
ВС = АD = 2АВ.
АВ : АD = АВ : 2АВ = 1 : 2.
Відповідь: 1 : 2.