ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Доведіть, що кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута, дорівнює тупому куту паралелограма.

Нехай ABCD — паралелограм, AK і AM — висоти.
Доведемо, що ∠KAM = ∠ABC. Нехай ∠ABC = х, тоді ∠ADC = х.
∠KBA + ∠ABC = 180° (як суміжні). ∠KBA = 180° – х.
З ∆АКВ: ∠ K = 90°, ∠KAB = 90° – ∠KBA, ∠KAB = 90° – (180° – х) = х – 90°.
∠ADC + ∠ADM = 180° (як суміжні). ∠ADM = 180° – ∠ADC. ∠ADM = 180° – х.
З ∆ADM: ∠M = 90°, ∠MAD = 90° – ∠ADM. ∠MAD = 90° – (180° – х) = х – 90°.
∠KAM = ∠KAB + ∠BAD + ∠DAM. ∠BAD + ∠ABC = 180° (як сусідні кути паралелограма).
∠BAD = 180° – х, ∠KAM = х – 90° + 180° – х + х – 90°, ∠KAM = х.
Отже, ∠KAM = ∠ABC.