ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда (2025)

43. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику: 1) бісектриси кутів при основі — рівні; 2) висоти, проведені до бічних сторін, — рівні; 3) медіани, проведені до бічних сторін, — рівні.

1) Дано: ∆АВС; АВ = ВС; AN, CK – бісектриси. Довести: AN = CK.
Доведення
В ∆ABN i ∆CBK. 1) ∠B – спільний; 2) АВ = ВС – за умовою.
3) ∠BAN = ∠BCK – як половини рівних кутів. Отже, ∆ABN = ∆CBK за стороною і двома прилеглими кутами.
Тоді AN = CK як відповідні сторони рівних трикутників.
2) Дано: АВС; АВ = ВС; АМ, CD – висоти. Довести: АМ = CD.
Доведення
В ∆ABM i ∆CBD: 1) ∠AMB = ∠CDB = 90°.
2) AB = BC – за умовою. 3) ∠В – спільний.
Отже, ∆АВМ = ∆CBD за гіпотенузою і гострим кутом.
Тоді АМ = CD як відповідні сторони рівних трикутників.
3) Дано: ∆АВС; АВ = ВС; АМ, СК – медіани. Довести: АМ = СК.
Доведення
В ∆АВМ і ∆СВК: 1) АВ = ВС – за умовою;
2) ВМ = ВК – за умовою. 3) ∠В – спільний.
Отже, ∆АВМ = ∆СВК за двома сторонами і кутом між ними.
Тоді АМ = СК як відповідні сторони рівних трикутників.