ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Кути BAD і ВСЕ — зовнішні кути трикутника ABC. Із вершини В проведено перпендикуляри BM і BK до бісектрис кутів BAD і ВСЕ відповідно. Знайдіть відрізок MK, якщо периметр трикутника ABC дорівнює 18 см.

За умовою ∆АВС, ∠BAD — зовнішній кут ∆АВС. Нехай ∠BAC = х, ∠BAD = 180° – х (суміжний з ∠ВАС). За умовою АР — бісектриса ∠BAD. За означенням бісектриси кута маємо: ∠ВАР = ∠DAP = 1/2∠BAD, ∠ВАР = (180° – х) : 2 = 90° – x/2. Розглянемо ∆ВМА — прямокутний (ВМ ⊥ АР, ∠ВМА = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠МВА + ∠ВАМ = 90°, ∠МВА = 90° – (90° – x/2) = 90° – 90° + x/2 = x/2. Аналогічно ∠ВСЕ — зовнішній кут ∆АВС. Нехай ∠ВСА = у, тоді ∠ВСЕ = 180° – у (суміжний з ∠ВСА). СТ — бісектриса ∠ВСЕ. ∠ВСТ = ∠ТСЕ = 1/2∠ВСЕ, ∠ВСТ = (180° – у) : 2 = 90° – y/2. Розглянемо ∆ВКС — прямокутний (ВК ⊥ СТ, ∠ВКС = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠КВС + ∠ВСК = 90°, ∠КВС = 90° – (90° – y/2) = 90° – 90° + y/2 = y/2. Виконаємо додаткову побудову: через точку В проведемо пряму a ∥ АС. ∠РВА = ∠ВАС (внутрішні різносторонні). Отже, ∠РВА = х. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠РВА = ∠РВМ + ∠МВА, ∠РВМ = х – x/2 = x/2. Отже, ∠РВМ = ∠МВА = x/2. МВ — бісектриса ∠РВА. За умовою АВ — висота, отже, за властивістю рівнобедреного трикутника маємо: ∆РВА — рівнобедрений (РВ = ВА), МВ — медіана, М — середина РА. Аналогічно ∠ТВС = ∠ВСА (внутрішні різносторонні), отже, ∠ТВС = у. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠ТВС = ∠ТВК + ∠КВС, отже, ∠ТВК = у – y/2 = y/2. Отже, ∠ТВК = ∠КВС = y/2. ВК — бісектриса ∠ТВС. За умовою ВК — висота, отже, за властивістю рівнобедреного трикутника маємо: ∆ТВС — рівнобедрений (ВС = ВТ). ВК — медіана, К — середина СТ. Побудуємо відрізок МК, МК ∩ АВ = Е, МК ∩ ВС = F. Отже, отримали М — середина АР, К — середина СТ, тому МК ∥ АС, МК ∥ а. Розглянемо ∆АВР: МЕ ∥ ВР і проходить через точку М — середину АВ. МЕ — середня лінія ∆АВР за теоремою про середню лінію трикутника маємо: МЕ = 1/2РВ (РВ = ВА), МЕ = 1/2ВА. Розглянемо ∆ВСТ. FК ∥ ВТ і проходить через точку В — середину СТ. FК — середня лінія ∆ВСТ. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: FK = 1/2ВТ (ВТ = ВС), FК = 1/2ВС. Розглянемо ∆АВС. FЕ — середня лінія ∆АВС. За теоремою про середню лінію маємо: ЕF = 1/2АС. P∆ABC = АВ + ВС + АС = 8 см | : 2; 1/2(АВ + ВС + АС) = 18 : 2; 1/2АВ + 1/2BC + 1/2АС = 9 см; МЕ + ЕF + FК = МК (за аксіомою вимірювання відрізків). МК = 9 см. МЕ + FК + ЕР = 9 см.
Відповідь: 9 см.