ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Доведіть, що точки перетину бісектрис кутів прямокутника, який не є квадратом, є вершинами квадрата.

Нехай АВСD — прямокутник, АК, ВК, СN, DN — бісектриси кутів А, В, С, D. Доведемо, що КМNР — квадрат. ∠А = ∠В = 180° (AВСD — прямокутник). ∠РАК = ∠КАВ = ∠АВК = ∠КВМ = 1/2∠А = 1/2∠В = 90° : 2 = 45° (АК і ВК — бісектриси). В ∆АВК: ∠КВА = ∠КАВ = 45°, тоді ∠ВKА = 90°. ∠МКР = ∠АКВ = 90° (як вертикальні). Розглянемо ∆АВР: ∠А = 90°, ∠АВР = 45°, тоді ∠АРВ = 45°, тоді ∆АВР — рівнобедревий. ∠ВРА = ∠МDА = 45°, вони відповідні при прямих ВР і МD та січній АD, оскільки ці кути рівні, то ВР ∥ МD. ∆АВР = ∆СDМ (за двома катетами), тоді ВР = МD. АК — бісектриса, проведена до основи, тоді АК — медіана і висота, ВК = КР = 1/2ВР. СN — бісектриса, проведена до основи, тоді СN — медіана і висота, МN = ND = 1/2МD. Оскільки ВР = МD, то МN = КР. Чотирикутник КМNР — паралелограм (МN = КР, МN ∥ КР). ∆ВАР = ∆АМВ (за катетом і гострим кутом), тоді АМ = ВР. КР = 1/2ВР; КМ = 1/2АМ. Отже, КР = КМ. Якщо в паралелограмі один кут прямий, сусідні сторони рівні, то це — квадрат.