ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

На сторонах AB і BC трикутника позначено відповідно точки M і K так, що AM = 3BM, CK = 3BK. Доведіть, що MK ∥ AC, і знайдіть відрізок MK, якщо AC = 16 см.

Виконаємо додаткові побудови: На стороні АВ позначаємо точки Е і N такі, що ВМ = МЕ = EN = NА (АМ = 3ВМ). На стороні ВС позначаємо точки F і Р такі, що ВK = KF = FР = РС (KС = 3ВK). Розглянемо ∆ЕВF. Якщо EМ = МВ і ВК = KF, тоді MK — середня лінія. За теоремою про середню лінію трикутника маємо МК ∥ ЕF і МК = 1/2ЕF. Розглянемо ∆АВС. Якщо МВ = МЕ = ЕN = NА, тоді МВ + ВЕ = ЕN + NА, ЕВ = ЕА і ВК = KF = FР = РС, ВK + KF = FР + РС, ВF = FС. Отже, маємо: ЕF — середня лінія ∆АВС. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: ЕF ∥ АС, ЕF = 1/2АС. Отже, ми отримали ЕF ∥ МК і ЕF ∥ АС, звідси маємо МK ∥ АС. Доведено. МK = 1/2ЕF і ЕF = 1/2АС, МK = 1/4АС, МK = 16 : 4 = 4 (см).
Відповідь: 4 см.