ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Через точку А, що лежить поза колом (рис. 149), проведено дві прямі, одна з яких перетинає коло в точках B i C (точка лежить між точками А і С), а друга — у точках D i E (точка D лежить між точками А і Е). 1) Доведіть, що AB • AC = AD • AE. 2) Знайдіть відрізок AE, якщо AB = 18 см, BC = 12 см і AD : DE = 5 : 7.

1) Виконаємо додаткову побудову: хорди — СD і ВЕ. Розглянемо ∆АDС і ∆АBЕ: ∠A — спільний кут, ∠ВСD = ∠ВЕD (опираються на дугу ВD.
За І ознакою подібності трикутників маємо: ∆АDС ~ ∆АВЕ. За означенням подібних фігур маємо: AC/AE = AD/AB; АС • АВ = АD • АЕ. Доведено.
2) За формулою АС • АВ = АD • АЕ маємо: АС • 18 = АD • АЕ.
За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АС = АВ + ВС, АС = 18 + 12 = 30 (см).
За умовою АD : DЕ = 5 : 7. Нехай АD = 5х (см), DЕ = 7х (см).
За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АЕ = АD + DЕ; АЕ = 5х + 7х = 12х (см).
Складемо і розв’яжемо рівняння: 30 • 18 = 5х • 12х; 60х2 = 540; х2 = 540 : 60; х2 = 9; = 3.
Отже, АЕ = 12 • 3 = 36 (см).
Відповідь: 36 см.