ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Доведіть, що в подібних трикутниках бісектриси, проведені з вершин відповідних кутів, відносяться як відповідні сторони.

За умовою ∆АВС ~ ∆А1В1С1.
За властивостями подібних фігур маємо: ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1, ∠С = ∠C1.
За умовою AN — бісектриса ∠ВАС.
За означенням бісектриси кута маємо: ∠BAN = ∠CAN = 1/2 ∠ВАС.
Аналогічно, якщо A1N1 – бісектриса ∠B1A1C1, тоді ∠B1A1N1 = ∠C1A1N1 = 1/2 ∠B1A1C1.
Якщо ∠ВАС = ∠В1А1С1, тоді ∠BAN = ∠NAC = ∠B1A1N1 = ∠N1A1C1.
Отже, маємо що ∆ABC ~ ∆A1B1C1 (∠B = ∠B1, ∠BAN = ∠B1A1N1). ∆NAC ~ ∆N1A1C1 (∠C = ∠C1, ∠NAC = ∠N1A1С1) за І ознакою подібності трикутників.
За означенням подібних фігур маємо: АВ/(A_1 B_1 ) = AN/(A_1 N_1 ); AN/(A_1 N_1 ) = AC/(A_1 C_1 ).
Отже, AB/(A_1 B_1 ) = AC/(A_1 C_1 ) = AN/(A_1 N_1 ). Доведено.