ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

На медіані BM трикутника ABC позначили точку O так, що ∠OAC = ∠OCA. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

Нехай ∆ABC — даний за умовою. BM — медіана, т. O лежить на BM, ∠OAM = ∠OCM, доведемо, що ∆ABC — рівнобедрений.
Розглянемо ∆AOC — рівнобедрений, так як ∠OAM = ∠OCM.
Оскільки OM — медіана, проведена до основи AC, то OM — висота і бісектриса.
∠AOM = ∠COM (ОМ — бісектриса).
Розглянемо ∆ABO і ∆CBO: 1) AO = CO (∆АОС — рівнобедрений); 2) BO — спільна; 3) ∠BOA – ∠BOC (як суміжні з рівними).
Отже, ∆ABO = ∆CBO за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що AB = BC, тоді ∆ABC — рівнобедрений.