ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

На бічних сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC позначили відповідно точки E та F так, що AC = AF = EF = BE. Знайдіть кути трикутника ABC.

Нехай даний ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC). AC = AF = EF = BE. Знайдемо кути ∆ABC.
Оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то ∠A = ∠C = х. ∠A + ∠B + ∠C = 180°. ∠B = 180° – х – х; ∠B = 180° – 2х.
Розглянемо ∆FAC — рівнобедрений (AC = AF), тоді ∠C = ∠AFC = x. ∠C + ∠AFC + ∠FAC = 180°.
∠FAC = 180° – (х + х) = 180° – 2х. ∠A = х; ∠A = ∠EAF + ∠FAC; х = ∠EAF + 180° – 2x; x + 2x – 180° = ∠EAF; 3x – 180° = ∠EAF. ∠EAF = ∠AEF = 3x – 180° (як кути при основі рівнобедреного ∆EAF).
∠EAF + ∠AEF + ∠EFA = 180°. ∠EFA = 180° – (3x – 180° + 3x – 180°) = 180° – 6x + 360° = 540° – 6x.
Розглянемо ∆BEF — рівнобедрений (BE = EF), тоді ∠EBF = ∠BFE = 180° – 2х. ∠CFB — розгорнутий, ∠CFB = 180°.
∠CFB = ∠AFC + ∠AFE + ∠FFB = 180°. х + 540° – 6х + 180° – 2х = 180°; –7х = –540; х = 540/7. ∠A = ∠C = (540°)/7 = 77(1°)/7; ∠B = 180° – 2 ∙ 540/7 = 180° – (1080°)/7 = 180° – 154(2°)/7 = 1797/7 – 1542/7 = 25(5°)/7.
Відповідь: ∠A = ∠C = 77(1°)/7; ∠B = 25(5°)/7.