ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

У трикутнику ABC відомо, що ∠A = α, бісектриси зовнішніх кутів при вершинах B i C перетинаються в точці О. Знайдіть кут BOC.

Нехай даний ∆ABC, ∠A =α, ∠KBC — зовнішній ∠BCD — зовнішній, BO — бісектриса ∠KBC, CO — бісектриса ∠BCD. Знайдемо ∠BOC. Нехай ∠ABC = x, ∠ACB = у.
Розглянемо ∆ABC: ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°. а + х + у = 180°; х + у = 180° – α. ∠KBC і ∠ABC — суміжні, тоді ∠KBC + ∠ABC = 180°. ∠KBC + х = 180°; ∠KBC = 180° – х; ∠KBO = ∠OBC = 1/2∠KBC = (180° - x )/2 = 90° – x/2 (BO — бісектриса ∠KBC). ∠BCD і ∠BCA — суміжні, тоді ∠BCD + ∠BCA = 180°.
∠BCD + у = 180°; ∠BCD = 180° – y; ∠BCO = ∠OCD = 1/2∠BCD = (180° - y)/2 = 90° – y/2 (СО – бісектриса ∠BCD).
Розглянемо ∆BOC: ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°.
∠BOC = 180° – (90° – x/2 + 90° – y/2); ∠BOC = 180° – 90° + x/2 – 90°– y/2; ∠BOC = x/2 + y/2; ∠BOC = (x + y )/2;
Так як x + у = 180° – α, то ∠BOC = (180° - α)/2 = 90° – α/2.
Відповідь: ∠ BOC – 90°– α/2.