ГДЗ Геометрія 8 клас Бевз (2025)

725. Знайди сторони прямокутника, якщо: а) одна зі сторін дорівнює 5 см, а діагональ 13 см; б) діагональ дорівнює 1 0 см і утворює зі стороною кут 60°; в) сторони пропорційні числам 5 і 12, а діагональ дорівнює 26 см; ґ) одна зі сторін дорівнює 15 см, а друга на 9 см менша від діагоналі.

Дано: ABCD – прямокутник; АС – діагональ.
Знайти: АВ, ВС, якщо
а) АВ = 5 см, АС = 13 см;
∆АВС (∠В = 90°): ВС2 = АС2 – АВ2; ВС2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144; ВС = 12 см.
б) АС = 10 см; ∠ВАС = 60°.
∆АВС (∠В = 90°): ∠С = 90° – ∠А = 90° – 60° = 30°.
За властивістю катета, що лежить проти кута 30°: АВ = 1/2АС = 1/2 • 10 = 5 (см);
ВС2 = АС2 – АВ2; ВС2 = 102 – 52 = 100 – 25 = 75; ВС = √75 = √(25 •3) = 5√3 (см);
в) АВ : ВС = 5 : 12; АС = 26 см;
Нехай АВ = 5х см, а ВС = 12х см;
∆АВС (∠В = 90°): АС2 = АВ2 + ВС2;
(5х)2 + (12х)2 = 262; 25х2 + 144х2 = 676; 169х2 = 676 |: 169; x2 = 4;
AB = 5 • 4 = 20 (см), ВС = 12 • 4 = 48 (см).
г) АВ = 15 см, ВС < AC на 9 см.
Нехай ВС = х см, тоді АС = (х + 9) см.
∆АВС (∠В = 90°): АС2 = АВ2 + ВС2;
(х + 9)2 = 152 + х2; х2 + 18х + 81 = 225 + х2; 18х = 225 – 81; 18х = 144| : 18; x = 8; ВС = 8 см.
Відповідь: а) 5 см і 12 см; б) 5 см і 5√3 см; в) 20 см і 48 см; г) 15 см і 8 см.