ГДЗ Геометрія 7 клас Бурда

У рівнобедреному трикутнику ABC проведено медіани AM і CN до бічних сторін AB і BC. Доведіть, що MN ∥ AC. Чи зміниться результат, якщо замість медіан провести бісектриси; висоти? 1) Oскільки AM і CN – медіани, то BM = 1/2BC, BN = 1/2AB. Aле AB = BC, тому BM = BN. Отже, трикутник NBM – рівнобедрений, до того, оскільки для трикутників ABC і NBM кут B – спільний, то ∠BNM = = ∠BAC. Отже, оскільки AB є січною для прямих NM і AC відповідні кути рівні, то NM ∥ AC; 2) оскільки трикутник ABC – рівнобедрений, то ∠BAC = ∠BCA. Tак як AM і CN бісектриси, то ∠BAM = 1/2 ∠BAC, ∠BCN = 1/2 ∠BCA. Отже,∠BAM = ∠BCN. Oскільки BA = BC, ∠BAM = ∠BCN, ∠B – спільний для трикутників BAM і BCN, то ∆BAM = ∆BCN за стороною і двома прилеглими до неї кутами. Tоді BN = BM. Отже, трикутник NBM – рівнобедрений, до того, оскільки для трикутників ABC і NBM кут B – спільний, то ∆BNM = ∆BAC. Отже, оскільки AB є січною для прямих NM і AC й відповідні кути рівні, то NM ∥ AC; 3) оскільки BA = BC, ∠B – спільний для трикутників BAM і BCN, то ∆BAM = ∆BCN як прямокутні трикутники за гіпотенузою гострим кутом. Tоді BN = BM. Отже, трикутник NBM – рівнобедрений, до того, оскільки для трикутників ABC і NBM кут B – спільний, то ∠BNM = ∠BAC. Отже, оскільки AB є січною для прямих NM і AC й відповідні кути рівні то NM ∥ AC;