ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Вершини квадрата ABCD лежать на колі. На дузі AB позначено довільную точку M. Доведіть, що ∠AMD = ∠CMD = ∠CMВ.

∠АМD — вписаний кут, який опирається на хорду АD. ∠ABD і ∆АСD — вписані кути, які опираються на хорду АD.
За наслідком з теореми про вписані кути маємо ∠АМD = ∠АВD= ∠ACD.
Нехай ∠AMD = х, отже, ∠ABD = х, ∠ACD = х. Аналогічно, ∠CMD, ∠CAD, ∠CBD — вписані кути, опираються на хорду СD.
Отже, ∠CMD = ∠CAD = ∠CBD. Нехай ∠CMD = у, тоді ∠CAD = у і ∠CBD = у. ∠СМВ, ∠BAC, ∠BDC — вписані кути, опираються на хорду ВС. ∠CMB = ∠BAC = ∠BDC.
Нехай ∠CMB = z, тоді ∠BAC = z, ∠BDC = z.
За умовою АВСD — квадрат. Отже, ∠CBA = 90°, ∠BAD = 90°. Отже, ∠CBA = 90°.
За наслідком з теореми про вписані кути ∠CBA опирається на діаметр AC, ∠AMC опирається на діаметр АС. Отже, ∠АМС = 90°. ∠BMD опирається на діаметр ВD, ∠BMD = 90°.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠CBA = ∠CBO + ∠OВА; х + у = 90°. ∠BAD = ∠BAO + ∠OAD, у + z = 90°.
Отже, маємо х + у = у + z. Звідси маємо: х = z, тобто ∠AMD = ∠BMC.
Аналогічно: ∠AMC = ∠АМО + ∠ОМС; х + у = 90°; ∠BMD = ∠BMC + ∠CMD; у + z = 90°.
Аналогічно отримаємо x = у. Отже, ∠AMD = ∠CMD.
Звідси маємо: ∠AMD = ∠BMC = ∠CMD. Доведено.