ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

На дузі AC кола, описаного навколо рівностороннього трикутника ABC, позначено точку M так, що ∪AM = 2∪СМ. Знайдіть кути трикутника АМС.

За умовою ∆АВС — рівносторонній. тому ∠АВС = ∠ВАС = ∠АСВ = 60°.
∠ВСА — вписаний кут, який опирається на хорду АВ ∠ВМА — вписаний кут, який опирається на хорду АВ.
За наслідком з теореми про вписані кути маємо: ∠ВСА = ∠ВМА = 60°.
∠САМ і ∠СВМ — вписані, які опираються на хорду CM; ∠САМ = ∠СВМ.
∠ВАС і ∠ВМС — вписані, які опираються на хорду ВС; ∠ВАС = ∠ВМС = 60°.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠АМС = ∠АМВ + ∠ВМС. ∠АМС = 60° + 60° = 120°.
Нехай ∪CM = х, тоді ∪AMC = 2х, ∪АМС = ∪AM + ∪MC. ∪AMC = х + 2х = Зх; ∪АМС = 360° – 120° = 240°; 3x = 240; х = 240 : 3; x = 80. ∪СМ = 80°.
Розглянемо ∆АМС. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠MAC + ∠MCA = 180° – 120° = 60°.
Отже: 3х = 60; х = 60 : 3; х = 20. ∠CAM = 20°, ∠MCA = 2 • 20° = 40°.
Відповідь: 120°, 20°, 40°.