ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У чотирикутнику ABCD відомо, що ∠A = ∠C = 90°. Доведіть, що бісектриси двох інших кутів чотирикутника або паралельні, або лежать на одній прямій.

1) За умовою ВN — бісектриса ∠АВС. За означенням бісектриси кута маємо: ∠ABN = ∠NВК = 1/2∠АВС.
Нехай ∠ABN = х, тоді ∠NВС = х, а ∠ABC = 2х. Розглянемо ∆АВN — прямокутний (∠A = 90°).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠АВN + ∠ANB = 90°. Якщо ∠ABN = х, тоді ∠ANB = 90° – ∠АВN, ∠ANB = 90° – x.
Розглянемо чотирикутник АВСD. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Якщо ∠A = ∠C = 90° і ∠АBC = ∠В = 2х, тоді ∠D = 360° – (∠А + ∠В + ∠C), ∠D = 360° – (90° + 90° + 2х), ∠D = 360° – (180° + 2х) = 360° – 180° – 2х = 180° – 2х. За умовою DK — бісектриса ∠АDС.
За означенням бісектриси кута маємо: ∠АDК = ∠СDК = 1/2∠АDС.
Якщо ∠АDС = 180° – 2х, тоді ∠АDК = ∠CDK = 1/2(180° – 2х) = 90° – х.
Розглянемо ∆КDС — прямокутний (∠С = 90°).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠KDC + ∠DKC = 90°, ∠DKC = 90° – ∠KDC.
Якщо ∠DКС = 90° – х, тоді ∠КDС = 90° – (90° – х) = 90° – 90° + х = х.
Розглянемо прямі BN і КD, АD — січна. ∠ANB = 90° – х, ∠АDК = ∠NDК = 90° – х (відповідні).
Якщо ∠ANB = ∠NDK, за ознакою паралельних прямих маємо ВN ∥ KD.
Доведено.