ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Знайдіть кути чотирикутника, якщо три його кути пропорційні числам 4, 5 і 7, а четвертий кут дорівнює їхній півсумі. Чи є цей чотирикутник опуклим?

Нехай АВСD — чотирикутник, у якому ∠A : ∠B : ∠C = 4 : 5 : 7, ∠D = (∠А + ∠B + ∠С) : 2.
Нехай ∠А = 4x, ∠B = 5x, ∠C = 7х, тоді ∠D = (4х + 5х + 7х) : 2. = 8x.
За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Складемо і розв’яжемо рівняння: 4х + 5х + 7х + 8х = 360; 24х = 360; х = 260 : 24; х = 15.
Отже, ∠A = 4 • 15° = 60°, ∠B = 5 • 15° = 75°, ∠C = 7 • 15° = 105°, ∠D = 8 • 15 = 120°.
∠A < 180°, ∠В < 180°, ∠C < 180 °, ∠D < 180°, тому АВСD — опуклий чотирикутник.
Відповідь: 60°, 75°, 105°, 120°; АВСD — опуклий чотирикутник.