ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 36°, ∠B = 72°. Висоти AE і BF трикутника перетинаються в точці H. Знайдіть кути чотирикутника: 1) CFHE; 2) ACBH.

1) Розглянемо ∆АВС. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠C = 180° – (∠А + ∠B), ∠C = 180° – (36° + 72°), ∠C = 180° – 108° = 72°.
За умовою АЕ — висота (АЕ ⊥ ВС). За означенням висоти маємо ∠AEC = ∠АЕВ = 90°.
Аналогічно ВF — висота (ВF ⊥ АС). ∠BFA = ∠ВFС = 90°. Розглянемо чотирикутник FНЕС.
За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠F + ∠H + ∠E + ∠C = 360°.
Якщо ∠F = ∠E = 90°, ∠C = 72°, тоді ∠H = 360° – (∠F + ∠C + ∠E), ∠H = 360° – (90° + 72° + 90°), ∠H = 360° – 252° = 108°.
Відповідь: 90°, 108°, 90°, 72°.
2) АЕ — висота, ∠АЕС = 90°. Розглянемо ∆АЕС — прямокутний (∠E = 90°).
За властивістю гострих кутів прямокутних трикутників маємо: ∠A + ∠C = 90°.
Якщо ∠C = 72°, тоді ∠A = 90° – ∠C, ∠A = 90° – 72° = 18°. ВF — висота, ∠ВFС = 90°.
Розглянемо ∆ВFС — прямокутний (∠F = 90°).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо ∠В + ∠C = 90°, ∠B = 90° – ∠C, ∠В = 90° – 72° = 18°.
Розглянемо чотирикутник АСВН. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠A + ∠C + ∠B + ∠H = 360°.
Якщо ∠A = ∠B = 18°, ∠C = 72°, тоді ∠H = 360° – (∠A + ∠B + ∠C), ∠H = 360° – (18°+ + 18° + 72°), ∠H = 360° – 108° = 252°.
Відповідь: 18°, 72°, 252°, 18°.