ГДЗ Геометрія 8 клас Бевз (2025)

694. Доведи, що діаметр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, є середнім пропорційним основ трапеції.

Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD.
MN — діаметр кола, вписаного в рівнобічну трапецію.
Доведемо, що MN2 = BC • AD.
Оскільки коло вписано, то BC + AD = 2АВ, тоді AB = (BC+AD)/2.
Проведемо BK ⊥ AD тоді AK = (AD-BC)/2.
BK2 = AB2 – AK2 = ((BC+AD)/2)2 – ((AD-BC)/2)2 = (BC^2+ 2BC •AD+ AD^2- AD^2+ 2AD •BC- BC^2)/4 = (4AD •BC)/4 = BC • AD.
Отже, BK2 = BC •AD і BK = MN, то MN2 = BC • AD.