ГДЗ Геометрія 8 клас Бевз (2025)

Доведи, що коли три кути описаного чотирикутника рівні, то він — дельтоїд.

Нехай ∠A = ∠B = ∠C, O — центр кола вписаного в чотирикутник ABCD; точки М, N, Р, Q — точки дотику, тоді OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ CD, OQ ⊥ AD. AO і CO — бісектриси кутів A i С. Доведемо, що відрізки AO і CO лежать на діагоналі AC. ∠AOC = 1/2∠MOQ + ∠MON + 1/2∠NOP = 1/2(180° – ∠A) + (180° – ∠B) + 1/2 (180° – ∠C) = 90° – 1/2∠A + 180° – ∠B + 90° – 1/2∠C = 360° – (1/2∠A + 1/2∠C + ∠B) = 360° – 180° = 180°. ∆NOC = ∆QOA за катетом і прилеглим кутом, тоді NC = AQ. Тоді AB = AM + MB = AQ + BN = NC + BN = BC, AD = AQ + QD = AQ + DP = NC + DP = CP + DB = CD. Оскільки AB = BC, AD = CD, то ABCD — дельтоїд.