ГДЗ Геометрія 7 клас Бурда

Доведіть рівність двох трикутників: 1) за кутом, бісектрисою цього кута і кутом, який бісектриса утворює з протилежною стороною; 2) за двома кутами і бісектрисою третього кута; 3) за висотою і кутами, прилеглими до сторони, на яку опущена висота.

1) Нехай ∠А = ∠А1, AL = A1L1, ∠ALB = ∠A1L1B1. Оскільки AL = A1L1, ∠ALB = ∠A1L1B1, ∠LAB = ∠L1A1B1 як половини рівних кутів, то ∆ALB = ∠A1L1B1 за стороною і двома прилеглими до неї кутами. У рівних трикутників відповідні елементи рівні, тому ∠В = ∠В1, АВ = А1В1. Так як АВ = А1В1, ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1, то ∆АВС = ∆А1В1С1 за двома сторонами та кутом між ними.
2) нехай ∠А = ∠А1, ∠С = ∠С1, BD = B1D1. Тоді ∠В = ∠В1, бо ∠В = 180° – ∠А – ∠С; ∠В1 = 180° – ∠А1 – ∠С1. Так як ∠А = ∠А1, ∠ABD = ∠A1B1D1 як половини рівних кутів, то ∠ADB = ∠A1D1B1. Оскільки BD = B1D1, ∠ADB = ∠A1D1B1, ∠ABD = ∠A1B1D1, то ∆ABD = ∆A1B1D1 за стороною та двома прилеглими до неї кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні тому, АВ = А1В1. Так як АВ = А1В1, ∠А = ∠А1, ∠АВС = ∠А1В1С1, то ∆АВС = ∆А1В1С1 за двома сторонами та кутом між ними;
3) нехай ∠А = ∠А1, ∠С = С1, BD = B1D1 – висоти. ∠ABD = ∠A1B1D1, бо у прямокутних трикутниках ∠ADB = ∠A1D1B1 = 90°, ∠A = ∠A1. Оскільки BD = B1D1, ∠ADB = ∠A1D1B1 = 90°, ∠ABD = ∠A1B1D1, то ∆ABD = ∆A1B1D1 за стороною і двома прилеглими до неї кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому АВ = А1В1. ∠В = ∠В1, бо ∠В = 180° – ∠А – ∠С, ∠В1 = 180° – ∠А1 – ∠С1. Так як АВ = А1В1, ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1, то ∆АВС = ∆А1В1С1 за стороною і двома прилеглими до неї кутами.