ГДЗ Алгебра 9 клас Істер НУШ

1.24. Для кожного додатного значення а доведіть, що:

1) Спростимо вираз в лівій частині нерівності:
a3 + 2а2 + а – а(а2 + 2а + 1) = а(а + 1)2. (а + 1)2 ≥ 0, а > 0 за умовою, отже, а3 + 2а2 + а > 0, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності:
а3 + 1 – (а2 + а) = (а + 1)(а2 – а + 1) – а(а + 1) = (а + 1)(а2 – а + 1 – а) = (а + 1 )(а – 1)2. (а – 1)2 ≥ 0, а + 1 > 0, оскільки а — додатне.
Отже, а3 + 1 ≥ а2 + а, що й треба було довести.
3) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності:
(а + 1)3 – 4(а3 + 1) = а3 + За2 + За + 1 – 4(а3 + 1) = (а3 + 1) + За(а + 1) – 4(а3 + 1) = –3(а3 + 1) + 3а(а + 1) = –3(а + 1)(а2 – а + 1) + За(а + 1) = –3(а + 1)(а2 – а + 1 + За) = –3(a + 1)(а + 1)2. (а + 1)2 ≥ 0, а + 1 > 0, оскільки а — додатне.
Отже, –3(а + 1)(а + 1)2 < 0, що йтреба було довести.
4) Спростимо вираз і лівій частині нерівності: а6 – a5 + а4 = (а6 – 2а5 + а4) + а5 = (а3 – а2)2 + а5; (а2 – а2)2 ≥ 0, якщо а > 0, a5 > 0, отже, (а3 – а2)2 + а5 > 0, тоді а6 – а5 + а4 > 0, що й треба було довести.