ГДЗ Алгебра 9 клас Істер НУШ

1.23. Доведіть нерівність:

1) У виразі, який записано в лівій частииі нерівності, виділимо квадрати двочленів: m2 + 4m + р2 + 2р + 5 = (m2 + 4m + 4) + (р2 + 2р + 1) = (m + 2)2 + (р + 1)2. Для будь–яких значень m і р: (m + 2)2 ≥ 0 і (р + 1)2 ≥ 0, тому (m + 2)2 + (р + 1)2 ≥ 0. Отже, m2 + 4m + р2 + 2р + 5 ≥ 0, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності: a2 + b2 – 4(а + b) + 8 = а2 + b2 – 4а – 4b + 8.
Виділимо в цьому виразі квадрати двочленів: (а2 – 4а + 4) + (b2 – 4b + 4) = (а – 2)2 + (b – 2)2.
Для будь–яких значень а і b: (а – 2)2 ≥ 0 і (b – 2)2 ≥ 0, тому (а – 2)2 + (b – 2)2 ≥ 0, тобто а2 + b2 – 4(а + b) + 8 ≥ 0. Отже, а2 + b2 ≥ 4 (а + b) – 8, що й треба було довести.
3) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності:
m2 + n2 + 1 – (m + n + mn) = 1/2(2m2 + 2n2 +2 – 2n – 2m – 2mn) = 1/2((m2 – 2m + n2) + (m2 – 2m + 1) + (n2 – 2n + 1) = 1/2((m – n)2 + (m – 1)2 + (n – 1)) ≥ 0 для всіх значень m і n. Отже, m2 + n2 + 1 ≥ m + n + mn.
4) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності:
а2 + b2 + с2 – 2(а + b + с) + 4 = (а2 – 2а + 1) + (b2 – 2b + 1) + (с2 + 2с +1) + 1 = (а – 1)2 + (b – 1)2 + (с – 1)2 + 1.
Оскільки (а – 1)2 ≥ 0, (b – 1)2 ≥ 0, (с – 1)2 ≥ 0, то (а – 1)2 + (b – 1)2 + (с – 1)2 + 1 > 0, то а2 + b2 + с2 > 2(а + b + с) – 4, що й треба було довести.