ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У скільки разів площа квадрата, описаного навколо кола, більша за площу квадрата, вписаного в це коло?

Нехай дано квадрат АВСВ, коло (О; к) — вписане у квадрат АВСВ, квадрат МТРК — вписаний у коло (О; к).
Знайдемо S_ABCD/S_MNPK . Нехай радіус кола r = х (см), тоді NO = ОР = ОК = ОМ = х (см).
NК = NO + ОК, NК = 2х. Розглянемо ∆МNК, ∠М = 90° (МNРК — квадрат), МN = МК = а — сторона квадрата.
За теоремою Піфагора МN2 + МК2 = NК2. а2 + а2 = (2x)2; 2a2 = 4x2; a2 = 2х2; SMNPK = a2 = 2x2.
Розглянемо чотирикутник ABNK. ABNK — прямокутник, тоді AB = NK = 2х. SABCD = AB2, SABCD = (2x)2 = 4x2.
S_ABCD/S_MNPK = 〖4x〗^2/〖2x〗^2 = 2.
Відповідь: у 2 рази.