ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, BD і AM — висоти трикутника, BD : AM = 3 : 1. Знайдіть cos С.

За умовою ВD — висота, ВD ⊥ АС. Отже, ∆АDВ — прямокутний (∠D = 90°).
За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника маємо: cos∠A = AD/AB = 3/7.
Отже, AD = Зх, АВ = 7х. За умовою ∆ABC — рівнобедрений (АВ = ВС). ВD — висота.
За властивістю висоти рівнобедреного трикутника маємо: АС = 2AD = 6x.
Розглянемо ∆АKС — прямокутний (∠K = 90°).
За означенням косинуса гострого кута в прямокутному трикутнику маємо: cos∠A = AK/AC = AK/6x = 3/7; AK = (6x •3)/7 = 18x/7.
Розглянемо ∆ADB — прямокутний (∠D = 90°).
За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = AD2 + ВD2; BD2 = АВ2 – AD2; BD2 = (7х)2 – (Зх)2 = 47х2 – 9х2 = 40х2; BD = √(40x^2 ) = √(4 •10x^2 ) = 2х√10.
Аналогічно у ∆АKС (∠K = 90°): АС2 = АK2 + KС2; KС2 = АС2 – АK2; KC2 = (6x)2 – (18x/7)2 = 36x2\49 – (324x^2)/49 = (1764x^2- 324x^2)/49 = (1440x^2)/49; KC = √((1440x^2)/49) = √((144 •10x^2)/49) = 12x/7 √10. CK/BD = (12x√10)/7 : 2x√10 = (12x√10)/7 : (2x√10)/1 = (12x√10 •1)/( 7 •2x√10) = 6/7.
Відповідь: 6/7.