ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кута між медіаною та висотою, проведеними до гіпотенузи.

За умовою ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°). BN — висота, проведена з вершини прямого кута.
За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо: ВС2 = CN • АС; АВ2 = AN • NC; BN2 = AN • NC. Розглянемо ∆ABC — прямокутний (∠B = 90°).
За теоремою Піфагора маємо: АС2 = АВ2 + ВС2; АС2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500; АС = 50 см.
Отже, маємо: 402 = CN • 50; CN = 1600/50 = 32 (см); 302 = AN • 50; AN = 900/50 = 18 (cм); BN2 = 32 • 18; ВN = √(32 •18) = √(16 •2 •9 •2) = 4 • 3 • 2 = 24 (см).
ВО — медіана, отже, АО = ОС = АС : 2; АО = 50 : 2 = 25 (см).
За аксіомою вимірювання відрізків маємо: NO = АО – АN; NO = 25 – 18 = 7 (см).
Розглянемо ∆ВNO — прямокутний (∠N = 90°).
За теоремою Піфагора маємо: ВО2 = ВN2 + ОN2; ВО2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625; ВО = 25 см.
За означенням тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника маємо: sinα = NO/BO; cosα = BN/BO; tgα = ON/BN; ctgα = BN/ON; sinα = 7/25; cosα = 24/25; tgα = 7/24; ctgα = 24/7.
Відповідь: sinα = 7/25; cosα = 24/25; tgα = 7/24; ctgα = 24/7.