ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

На сторонах паралелограма ABCD (рис. 39) відклали рівні відрізки AM, BK, CE і DF. Доведіть, що чотирикутник MKEF — паралелограм.

За умовою АВСD — паралелограм. За ознаками паралелограма маємо АВ = СD, ВС = АD (протилежні сторони) і ∠А = ∠С, ∠В = ∠D (протилежні кути). Нехай АВ = а, тоді СD = а. Нехай ВС = b, тоді АD = b. За умовою АМ = ВК = СЕ = DF. Нехай АМ = х, тоді ВК = х, СЕ = х, DF = х. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: МВ = АВ – АМ, МВ = а – х. КС = ВС – ВК, КС = b – х. DЕ = DС – СЕ, DЕ = а – х. АF = АD – DF, АЕ = b – х. Звідси маємо: МВ = DЕ = а – х, КС = АF = b – х. Розглянемо ∆АМF і ∆СЕК. 1) АF = КС; 2) АМ = СЕ; 3) ∠А = ∠С. За І ознакою рівності трикутників маємо ∆АМF = ∆СЕК. За властивістю рівних фігур маємо: МF = КЕ. Розглянемо ∆МВК і ∆EDF. 1) МВ = DЕ; 2) ВК = DF; 3) ∠В = ∠D. За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆МВК = ∆ЕDF. За властивістю рівних фігур маємо МК = FЕ. Ми отримали МF = КЕ, МК = FЕ. Застосовуючи теорему 3.1 маємо МFЕК — паралелограм. Доведено.