ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У чотирикутнику ABCD відомо, що AB ∥ CD, ∠A = ∠C. Доведіть, що чотирикутник ABCD паралелограм.

Виконаємо додаткову побудову: діагональ BD. За умовою АВ ∥ СD, ВD — січна. За ознакою паралельності прямих маємо ∠АВD = ∠СDВ (внутрішні різносторонні). Розглянемо ∆АBD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠А + ∠АВD + ∠ВDА = 180°. ∠ВDA = 180° – (∠А + ∠АВD). Розглянемо ∆ВСD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠С + ∠СDВ + ∠DВС = 180°, ∠DВС = 180° – (∠С + ∠СDВ). Ми отримали, що ∠А = ∠С, ∠АВD = ∠СDВ, тому ∠ВDА – ∠DВС. Розглянемо ∆АВD і ∆СDВ. 1) ∠АВD = ∠СDВ; 2) ∠ВDА = ∠DВС; 3) ВD — спільна сторона. За II ознакою рівності трикутників маємо ∆АВD = ∆СDВ. За властивістю рівних фігур маємо: АВ = СD. Застосовуючи теорему 3.1 ми маємо, якщо АВ ∥ СD і АВ = СD, тоді АВСD — паралелограм. Доведено