ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда (2025)

720. На колі з центром O і радіусом R, у якому проведено два взаємно перпендикулярних діаметри AB і CD, взято точку К. Хорда AK перетинає діаметр CD у точці М, а пряма BK — його продовження у точці N. Доведіть, що OM • ON = R2.

∠АКВ = 90° (вписаний, спирається на діаметр), тоді ∠NKM = 90° (суміжний з ∠AKB).
∆АОМ ~ ∆NKM (прямокутні трикутники, у яких ∠AMO = ∠NMK — як вертикальні).
Звідси AO/NK = OM/KM. (І)
∆BON ~ ∆ВКА (прямокутні, ∠B — спільний).
Звідси BO/BK = ON/KA. (II)
∆ВАК ~ ∆MKN (прямокутні, ∠BAK = ∠MNK).
Звідси BK/MK = KA/KN. (III)
З рівності (І): ОМ = (AO •KM)/NK.
З рівності (IІ): ОN = (BO •KA)/BK.
З рівності (IIІ): BK • KN = MK • KA.
OM • ON = (AO •KM)/NK • (BO •KA)/BK = AO • BO • (KM x KA)/(NK x BK).
Оскільки BK • KN = MK • KA, то (KM •KA)/(NK •BK) = 1.
Отже, OM • ON = AO • OB • 1 = R • R = R2. Тобто OM • ON = R2.