ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда (2025)

698. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює Р. Через точку перетину його медіан проведено пряму, паралельну стороні. Доведіть, що довжину відрізка d цієї прямої з кінцями на сторонах трикутника можна обчислювати за формулою: d = 2P/9.

∆АВС — рівносторонній; Р — периметр ∆АВС; О — точка перетину медіан ∆АВС; О ∈ KP; KP ∥ АС.
Медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.
Тоді BO/ON = 2/1, а BN/BO = 3/2; ∆KBO ~ ∆ABN; AN = 1/2АС = 1/2 • P/3 = 1/6Р.
З подібності ∆КВО і ∆ABN: AN/KO = BN/BO; (1/6 P)/KO = 3/2.
Звідси КО = (2• 1/6 P)/3 = P/9. КО = 1/2КР, тоді КО = 2КО = 2 • P/9 = 2P/9.