ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда (2025)

702. У рівнобедрений трикутник з основою a і бічною стороною b вписано коло. Знайдіть відстань між точками дотику кола до бічних сторін трикутника, якщо: 1) a = 6 см, b = 10 см; 2) a = 10 см, b = 13 см.

∆АВС — рівнобедрений, ВК ⊥ AC; К — середина АС; АК = 1/2АС = 1/2а.
∆АОK = ∆AOM (прямокутні); АО — спільна гіпотенуза; ОМ = OK — катети (як радіуси одного кола).
Звідси AM = a/2, тоді МВ = AB – AM = b – a/2 = (2b- a)/2.
MZ — відстань між точками дотику кола до бічних сторін ∆АВС.
ВК перетинає MZ в т. Р. Р — середина MZ; MZ ∥ AC.
MP = a/2 ∆MВР ~ ∆АВК. AK/MP = AB/MB, або (a/2)/MP = b/((2b- a)/2).
Звідси MP • b = a/2 • (2b- a)/2; MP = (a(2b- a))/4b; d/2 = (a(2b- a))/4b; d = (2a(2b- a))/4b; d = (a(2b- a))/2b.
1) a = 6 cм; b = 10 см. d = (6•(2•10-6))/(2•10) = (6•14)/(2•10) = 4,2 (см).
2) a = 10 cм; b = 13 cм. d = (10•(2•13-10))/(2•13) = (10•16)/26 = 62/13 (см).