ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

На бічних сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC позначили відповідно точки M i K так, що BM = BK. Відрізки AK і CM перетинаються в точці О. Доведіть, що: 1) трикутник AOC рівнобедрений; 2) пряма BO — серединний перпендикуляр відрізка AC.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений. AB = BC. M ∈ AB; K ∈ BC. BM = BK. AK CM = 0. 1.
1. Довести: ∆АОС — рівнобедрений.
Доведення:
За умовою ∆ABC — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠BAC = ∠BCA.
За умовою: AB = BC і BM = BK, тоді AM = KC.
Розглянемо ∆AMC і ∆СКА: 1) ∠MAC = ∠KCA; 2) AC — спільна сторона; 3) AM = KC.
За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆КАС = ∆MCА. Звідси ∠KAC = ∠MCA, AK = CM. Тому, ∆AOC — рівнобедрений. Доведено.
2. Довести: BO — серединний перпендикуляр відрізка AC.
Доведення:
∆AOC — рівнобедрений. AO = ОС; ∠OAP = ∠OPA. OK = ОМ.
Розглянемо ∆MBO і ∆КВО: 1) MO = OK; 2) MB = BK; 3) BO — спільна сторона.
За III ознакою рівності трикутників маємо: ∆BOM = ∆ВОК. Звідси ∠MBO = ∠KBO. Тому BO — бісектриса.
За властивістю рівнобедреного трикутника маємо: BO — висота, медіана. Отже OB —серединний перпендикуляр. Доведено.