ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Доведіть рівність гострокутних трикутників за стороною та двома висотами, проведеними з кінців цієї сторони.

Дано: ∆ABC, ∆A1B1C1 — гострокутні. AC = A1C1; AN; PC; A1N1; P1C1 — висоти. AN ⊥ BC; CP ⊥ AB; A1N1 ⊥ B1C1; C1P1 ⊥ A1B1; AN = A1N1; CP = C1P1.
Довести: ∆ABC = ∆A1B1C1.
Доведення:
Розглянемо ∆ANC і ∆A1N1C1: За умовою AN — висота (AN ⊥ BC) ∠ANC = 90°.
Аналогічно ∠A1N1C1 = 90°. 1) ∠ANC = ∠A1N1C1 = 90°; 2) AN = A1N1 (за умовою); 3) AC = A1C1 (за умовою).
За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ANC = ∆A1N1C1. Звідси ∠C = ∠C1.
За умовою CP — висота (CP ⊥ AB) ∠CPA = 90°. Аналогічно ∠C1P1A1 = 90°.
Розглянемо ∆CPA і ∆C1P1A1: 1) ∠APC = ∠A1P1C1 = 90°; 2) CP = C1P1 (за умовою); 3) AC = A1C1 (за умовою).
За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆APC і ∆A1P1C1. Звідси ∠A = ∠A1.
Розглянемо ∆ABC і ∆A1B1C1: AC = A1C1; ∠A = ∠A1; ∠C = ∠C1.
За II ознакою рівності трикутників маємо: ∆ABC = ∆A1B1C1. Доведено.