ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Доведіть рівність трикутників за стороною та проведеними до неї медіаною та висотою.

Дано: ∆ABC і ∆A1B1C1. AC = A1C1; BN і B1N1 — висоти. BN ⊥ AC; B1N1 ⊥ A1C1. BP і B1P1 — медіани. BN = B1N1; BP = B1P1.
Довести: ∆ABC = ∆A1B1C1.
Доведення:
За умовою BN — висота, BN ⊥ AC; ∠BNC = 90°. Аналогічно B1N1 — висота, ∠B1N1C1 = 90°. BP — медіана.
За означенням медіани трикутника маємо: AP = PC = 1/2AC. Аналогічно B1P1 — медіана, тоді A1P1 = P1C1 = 1/2A1C1.
Розглянемо ∆BNP і ∆B1N1P1: 1) ∠BNP = ∠B1N1P1 = 90°; 2) за умовою BN = B1N1; 3) за умовою BP = B1P1.
За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆BNP = ∆B1N1P1. Звідси NP = N1P1 і ∠BPN = ∠B1P1N1.
Якщо AP = A1P1 і NP = N1P1, звідси AN = A1N1.
Якщо ∠BPN = ∠B1P1N1, тоді ∠BPC = ∠B1P1C1, як суміжні рівним кутам.
Розглянемо ∆BNA і ∆B1N1A1: ∠BNA = ∠B1N1A1 = 90°; ВN = B1N1; AN = A1N1.
За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ANB = ∆A1N1B1. Звідси ∠BAN = ∠B1A1N1.
Розглянемо ∆BPC і ∆B1P1C1: BP = B1P1; PC = P1C1; ∠BPC = ∠B1P1C1.
За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆BPC = ∆B1P1C1. Звідси ∠BCP = ∠B1C1P1.
Розглянемо ∆ABC і ∆A1B1C1: AC = A1C1; ∠BAC = ∠B1A1C1; ∠BCA = ∠B1C1A1.
За II ознакою рівності трикутників маємо ∆ABC = ∆A1B1C1. Доведено.