ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Пряма перетинає сторони AB і BC трикутника ABC у точках M i K відповідно. Вершини даного трикутника рівновіддалені від прямої MK. Доведіть, що точки M і K є серединами сторін AB і BC відповідно.

Дано: ∆АВС. AP ⊥ MK; BE ⊥ MK; CE ⊥ MK. AP = BE = CF.
Довести: M — середина АВ, K — середина BC.
Доведення:
За умовою вершини трикутника рівновіддалені від прямої MK, тобто AP ⊥ MK; BE ⊥ MK; CF ⊥ MK і AP = BE = CF.
Розглянемо ∆BEK і ∆CFK. BE ⊥ MK; ∠BEK = 90° і CF ⊥ MK; ∠CFK = 90°. ∠BEK = ∠CFK = 90°. BE = CF. ∠BKE = ∠CKF (вертикальні).
За ознакою рівності прямокутника трикутників маємо: ∆BEK = ∆CFK. Звідси BK = KC, отже K — середина BC.
Аналогічно ∆APM = ∆ВЕМ. ∠APM = ∠BEM = 90°; ∠AMP .= ∠BME (вертикальні); AP = ВE.
Звідси AM = MB. M — середина відрізка AB. Доведено.