ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда (2025)

459. Доведіть, що коли діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то середня лінія трапеції дорівнює її висоті.

AВСО — трапеція (ВС ∥ AD), AB = CD, ∠BOC = 90°, LN — середня лінія трапеції. Через точку О проведемо МК, МК ⊥ ВС, тоді MK ⊥ AD. Оскільки ВО = ОС, то ∠OBC = ∠OCB = (90°)/2 = 45°, то ОМ = МС = ВМ = 1/2ВС. Оскільки AO = OD, то ∠OAD = ∠ODA = (90°)/2 = 45°, то OK = KD = AK = 1/2AD. Тоді MK = MO + OK = 1/2BC + 1/2AD = (BC+AD)/2 = NL. Отже, якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то середня лінія трапеції дорівнює ії висоті.