ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда (2025)

450. Доведіть теорему про властивості середньої лінії трапеції, скориставшись малюнками 190 — 192 (MN – середня лінія).

Мал.190 За теоремою про середню лінію трикутника маємо МЕ = 1/2ВС, EN = 1/2AD, тодi MN = ME + EN = 1/2BC + 1/2AD = (BC+AD)/2.
Мал. 191 Проведемо CF ∥ AB, тоді ABCF — паралелограм, AF = ВС, CE = EF, EN — середня лінія трикутника FCD. MN = ME + EN = BC + 1/2FD = BC + 1/2(AD – AF) = BC + 1/2AD – 1/2BC = 1/2AD + 1/2BC = (AD+BC)/2.
Мал.192 Проведемо EF ∥ AB, тоді ABEF — паралелограм, BE = AF. ∆CNE = ∆DNF (за стороною і двома прилеглими кутами: CN = DN — за умовою, ∠CNE = ∠DNF — як вертикальні, ∠ECN = ∠FDN — як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній CD), тоді EN = FN і СЕ = DF. MN = 1/2(ВЕ + AF) = 1/2(BC + CE + AD – FD) = 1/2(BC + CE + AD – CE) = 1/2(BC + AD).