ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Прямі, які дотикаються до кола із центром O в точках А і В, перетинаються в точці К, ∠AKB = 120°. Доведіть, що AK + BK = OK.

Нехай дано коло (О; R), пряма а і пряма b — дотичні, т. А і В — точки дотику. Пряма а і пряма b перетинаються в т. K, ∠AKB = 120°. Доведемо, що AK + BK = OK. OA і OB — радіуси, які проведені в точки дотику, за властивістю дотичної OA ⊥ AK, OB ⊥ KB. Розглянемо ∆AKO і ∆BKO. 1) ∠KAO = ∠KBO = 90° (OA ⊥ AK, OB ⊥ BK). 2) AO = OB (як радіуси). 3) KO — спільна. Отже, ∆AKO = ∆BKO за катетом і гіпотенузою, з цього випливає, що ∠AKO = ∠BKO. ∠AKO = ∠BKO = 1/2 ∠AKB = 120°: 2 = 60°. Розглянемо ∆AKO (∠KAO = 90°). ∠AKO + ∠AOK = 90°; ∠AOK – 90° – 60° = 30°. Тоді катет AK y що лежить напроти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи KO. AK = 1/2KO. Аналогічно, з ∆KBO (∠KBO = 90°), KB = 1/2KO; AK + KB = 1/2KO + 1/2КО = KO.