ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Пряма AC дотикається до кола із центром O в точці А (рис. 330). Доведіть, що кут ВАС у 2 рази менший від кута AOВ.

Нехай дано коло (О; R), AC — дотична, C — точка дотику. Доведемо, що ∠AOB = 2 ∠BAC. OA — радіус, проведений в точку дотику, тоді за властивістю дотичної OA ⊥ AC, ∠OAC = 90°. Розглянемо ∆AOB — рівнобедрений (AO = OB = R), тоді ∠OAB = ∠OBA = х. ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°; ∠AOB = 180° – 2х; ∠OAC = 90°. ∠OAC = ∠OAB + ∠BAC; 90° = х + ∠BAC; ∠BAC = 90° – x. Отже, ∠AOB = 180° – 2x = 2(90° – x). ∠BAC = 90° – x; ∠AOB = 2∠BAC.