ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

У колі із центром O через середину радіуса проведено хорду AB, перпендикулярну до нього. Доведіть, що ∠AOB = 120°.

Нехай дано коло (О; R), OC = R, т. M — середина ОС, AB – хорда, AB ⊥ ОС. Доведемо, що ∠AOB = 120°. Розглянемо ∆AOC — рівнобедрений (AO = OC = R). Так як AM ⊥ ОС, то AM — висота. Так як OM = MC (т. M — середина ОС), то AM — медіана. Якщо в ∆AOC AM — медіана і висота, то ∆AOC — рівнобедрений з основою ОС, тоді AO = AC. Так як AO = ОС, AO = AC, то AO = OC = AC = R i ∆AOC — рівносторонній, ∠AOC = ∠OCA = ∠CAO = 60°. Аналогічно можна довести, що ∆COB — рівносторонній, ∠BOC = ∠OCB = ∠CBO = 60°. ∠AOB = ∠AOC + ∠COB; ∠AOB = 60° + 60° = 120°.
Відповідь: ∠AOB = 120°.